regressie2

ik heb gezien dat jukkie de lijn kunnen vinden . Prima
nu toepassen op kromme lijnen met de afgeleide.
Het werken met de lijsten gaat net zo, maar voor een tweedegraads kromme (minstens) drie punten.
Voor een derdegraads (cubicreg) (minstens) vier.
etc.
ageleiden van andere typen functies de volgende keer
Zettemop!!!!

afgeleiden1

Beschouw de functie Y1=x^3 - 6x Zet deze in de GR.
In hoofdstuk 3 heb je differenties berekend. De helling van de grafiek in een punt vind je door op een klein interval de differentie te berekenen. Als voorbeeld: de helling van de grafiek voor x=1 is te berekenen met (Y1(1+0,001) - Y1(1))/0,001.
Geef de uitkomst. Je kunt dit op dezelfde ,anier voor veel meer waarden van x doen; in feite voor alle waarden van x. Hiervoor zit een speciale functie ingebouwd in de GR.
Zet in de grafiekmodus Y= de volgende functie: Y2=nDeriv(Y1,X,X). Je vindt dit onder de toets
Teken de grafieken van Y1 en Y2. De grafiek van Y2 lijkt een parabool te zijn, een tweedegraadsfunctie. Zo'n tweedegraadsfunctie wordt vastgelegd door drie punten.
Haal via de coördinaten van drie punten van Y2 op: voor x=-1 x=1 en x=3 ( als volgt: na tik je in -1 en lees de y- waarde af ( durf wel een beetje af te ronden op 6 decimalen))
Je zet in lijst L1 de x-waarde van het eerste punt -1 en in lijst L2 de gevonden y-waarde -3). Dit doe je ook voor de andere twee waarden van x.
Dan nu de regressie: via 5:Quadreg L1,L2 de formule vinden van de parabool.
Geef de formule en zet deze in Y3 op de GR. Deze moet dan over Y2 getekend worden.
De functie in Y3 heet de afgeleide functie van Y1.

Opdracht : vind op deze manier formules voor:
Y1 = x^3 + 5x^2
Y1 = 2x^3 - 3x^2 +5x
Y1 = x^3 + x^2 + x + 5
Y1 = x^3
Y1 = x^2
Y1 = x
Y1 = 5

Bedenk hoe je de formules zonder GR kunt vinden en geef de werkregel(s).

Probeer met denkwerk te vinden de afgeleide van
Y1 = x^3 + 5x^2 - 3x + 7
En doe het dan met de GR.
Mail je bevindingen en resultaten.

De regressie met de rechte lijn lukte al wel; dus dit toch ook ??!!

herinnering

ik heb op de GR opdracht nog geen antwoord. Dat moet wel eerst voor het vervolg van de opdracht gepubliceerd wordt.
De reacties op de hyperbool geven aan dat je nog moeite hebt om een afleiding voor het maken van formules te volgen via de computer. Een toelichting in de les lijkt het meest voor de hand te liggen.
Ik verwacht dat je de instructie voor het gebruik van de GR wel kunt maken !! Doen!!!

regressie

Op je GR zit een mogelijkheid om fomules te maken voor functies als de coördinaten van punten gegeven zijn.
Je weet dat je de grafiek vaneen rechte lijn kunt maken als er twee punten gegeven zijn.
Als oefening het volgende:
Gegeven de punten ( -1, 2) en ( 3, 5).
Maak de formule eerst zelf en mail deze.

Het Grafisch Rekentuig kan dit als volgt:
Zet in lijst L1 de x-coördinaten en in lijst L2 de bijbehorende y-coördinaten; [ menu: STAT Edit ]
Ga dan weer naar menu [ STAT CALC en kies optie 4 Linreg(ax+b) ] [enter]
Vul de opdrachtregel aan , zodat er staat:
Linreg(ax+b) L1,L2,Y1 (opmerking: Y1 vind je via [VARS Y-VARS Function ] )
Mail je antwoord.

Ook heb je al formules gemaakt voor tweede, derde, vierde en vijfde graads functies als een serie nulpunten gegeven waren en nog een extra punt:
Twee nulpunten: (-2, 0) (3, 0) en (1,4) . Hierbij maak je een tweedegraads formule.
Doe dat ( kijk in je gemaakte proefwerken hoe je dat doet ).
Mail je formule die je op papier vindt.
Zet deze drie punten in de lijsten L1 en L2.
Maar nu kies je QuadReg ( voor quadratische (kwadratische) formules), dus:
Quadreg L1,L2,Y1 [enter]
Vergelijk de verkregen formule met de papieren versie: werk haakjes uit.

Voor een derdegraads kromme zal je wel vier punten moeten opgeven:
Zoek de kromme door (-3, 0) (-1, 0) (1, 0) en (2, 3)
Zelf formule maken
en de GR het werk laten doen via CubicReg ( kubiek is derde macht).
Verifieer je antwoord door haakjes wegwerken.

Je hoeft de machine niet uitsluitend nulpunten te geven: Voor een derde graadskromme geef je vier punten op, en beetje redelijk gekozen.
Bijvoorbeeld: (-1, -3) (0,2) (2, -1) en (5, 1)
Zelfde procedure en bestudeer de grafiek van Y1Vind nu de nulpunten van deze grafiek en de toppen.
Mail je antwoord.

oefening

Je hebt de vergelijking van een ellips gevonden: De som van de afstanden tot twee gegeven punten is constant, (de veterlengte).
Maar wat als het verschil constant is? Dus PF1 - PF2 is een constante.

F1 is (5 , 0) en F2 is (-5 , 0) en voor punt P geldt:
PF2 - PF1 = 8
Maak een tekening en controleer dat voor P gekozen kan worden (4 , 0)

Je ziet hier de hyperbool,
laat zien dat de vergelijking is:
V( (x+5)^2 + y^2) - V( (x-5)^2 + y^2) = 8

Ga nu met het rekenblad van de ellips hetzelfde rekenwerkverzetten voor de hyperbool

Je begint dus met:

V( (x+5)^2 + y^2) = 8 + V( (x-5)^2 + y^2)
en dan nu beide kanten kwadrateren
Let dus goed op de handelingen die je bij de ellips gedaan hebt

Veel succes

afsluiting4

Wieke heeft nog moeite de vergelijking goed te lezen. De uitdrukking V(.....+...) moet als wortel gelezen worden, zoals op de Grafische Rekenmachine (GR).
20*V((x+4)^2 + y^2) = 100 + 16x
Misschien moet ik toch een opmaak kiezen die dichter tegen het schrijven aanligt.
Dus: de uitwerking voor en na kwadrateren volgen hieronder:

Einde wortelgedoe

afsluiting3

Na mijn "aardelanding" waarbij enkele functies uitgeschakeld waren is er weer contact. En dat alles in de week dat de Huygens sonde op de maan Titan ook een landing maakte.
Vrijdag heb ik jullie laten zien dat de punten P op een ellips liggen: de lengtes PF1 + PF2 waren samen de lengte van Sem's schoenveter: in de berekening op 10 gesteld. De brandpuntsafstand OF1=OF2 was 4 gekozen.

De vergelijking die we in de les vonden was:
V((x - 4)^2 + y^2) + V((x + 4)^2 + y^2) = 10
Deze vergelijking aan beide kanten kwadrateren geeft heel veel rekenwerk waaruit niets wegvalt, vandaar de aanwijzing om eerst van beide kanten een worteluitdrukking af te trekken:
V((x - 4)^2 + y^2) = 10 - V((x+4)^2 + y^2)
En dan deze aan beide kanten kwadrateren:
(x - 4)^2 + y^2 = 100 - 20*V((x+4)^2 + y^2) + (x + 4)^2 + y^2
Haakjes wegwerken en herleiden tot ( zelf doen !! )

20*V((x+4)^2 + y^2) = 100 + 16x
opmerking: bij het oplossen van wortelvergelijkingen is het efficient om de worteluitdrukking aan één kant van het "="-teken te hebben staan.
Gan nu deze vergelijking aan beide kanten kwadraten en maak deze zo eenvoudig mogelijk
Ik ben benieuwd naar jullie resultaat.

afsluiting2

Je kunt je afvragen waar dit gereken met wortels goed voor is. Vanzelfsprekend train je de algebraïsche rekenvaardigheden, maar kom je dit bij het oplossen van andere problemen dan wel tegen? Het oplossen van vergelijkingen vind je een vanzelfsprekende zaak neem ik aan. Maar kom je zulke ingewikkelde toestanden dan wel tegen? Zelf heb ik dat in het voortgezet onderwijs gehad bij het vinden van formules bij figuren uit de meetkunde, dus als je tekeningen in een assenstelsel maakt.
Een paar formules ken je wel:
de vergelijking van een rechte lijn y= 3x + 2 (een lijn met helling 3 en starthoogte op de y-as 2)
de vergelijking van een parabool y= x^2 - 4x - 5 (en hiervan bereken je vaak de nulpunten en de top)

de vergelijking van een cirkel x^2 + y^2 = 5^2. Wel of niet gehad? hieronder volgt een uitleg:

Teken een cirkel met straal 5 en met middelpunt de Oorsprong van je assen stelsel.
Controleer met een berekening en tekening dat (0,5) (4,3) (-3,4) punten zijn van de cirkel.
Geef nog een paar punten die op de cirkel liggen.
Om de vergelijking te vinden ga je als volgt te werk:
Zet op de cirkel een punt P en noem de coördinaten gewoon (x,y). ( teken punt P het liefst in het eerste kwadrant, dus x is positief en y is positief. Teken een handige rechthoekige driehoek met P als hoogste punt en een rechthoekszijde is evenwijdig aan de y-as.
Welk lijnstuk heeft dan de lengte x en welk de lengte y?
Maak nu een formule voor de lengte OP.

Nu geldt dat OP + PO = 10 ( 2 keer de lengte van OP )
Dus alle punten P waarvoor dit geldt liggen op een cirkel.

Bestudeer dan nu het volgende en geef je bevindingen

afsluiting1

Ik verwacht nog wel een antwoord op de vraag over de GR
Ik hoop dat het antwoord dat de GR je geeft je aanzet tot vragen!!!

Je kunt je afvragen of het ingewikkelde rekenwerk dat je moest maken echt wel voorkomt in de praktijk. Bij het vinden van de vergelijkingen van ellipsen en hyperbolen kom je dit tegen. Dat wordt in afsluiting2 aangepakt.
Ik verwacht van jullie dat je eenvoudiger vergelijkingen nu wel kunt oplossen.
Probeer op te lossen de vergelijking

x+9 = 10*V(x)

Probeer dit ook met de GR

Als je nu hoofstuk 5 van het deel Getal en Ruimte NG/NT1 er bijpakt, zal je zien dat veel van het rekenwerk dat je moet maken al aan de orde is geweest: zoals het oplossen van kwadratische vergelijkingen, al of niet met de abc-formule.

uitleg9

De formule die je moet kwadrateren overzie je niet helemaal. Rick komt tot het volgende (10 dec)
V(8x+3) + V(8x+7)= 2V(2x+6) + 2V(2x+4)
Kwadrateren
(8x+3)+2*V(8x+3)*V(8x+7)+(8x+7)=2(2x+6)+8*V(2x+6)*V(2x+4)+(2x+6)
In deze formule staan aan de rechterkant nog wat foutjes : zie uitleg 8 en probeer van deze formule uit te gaan in je berekeningen.
Een hoop papier werk, ik had er zelf ook flink wat velletjes nodig.
Maar probeer eerst een begin te maken. Als je je rekenwerk niet vertrouwt, dan pas verder lezen.

De oplossing van het vraagstuk wordt nu hieronder gegeven, maar voordat je dit gaat lezen en er vragen over kunt stellen, probeer je via de Solver op de GR de oplossing te vinden:
Voer in het menu Y= de formule in die links van het = teken staat:
Y1=V(8x+3) + V(8x+7) en in
Y2=2V(2x+6) + 2V(2x+4)
Zet in de Solververgelijking Y1 - Y2
Los de vergelijking op en verbaas je over het antwoord.
Kan je een verklaring hiervoor vinden?
Geef je commentaar :-[(

Dan nu de oplossing in Mathcad/Studyworks.
Hou papier en pen bij de hand en speel de op;lossing na!!
Af en toe met verstand iets overschrijven helpt!!!