RSS 1.0uitleg7
Het grote probleem wordt door Sem goed opgeschreven, maar als hij gaat kwadrateren, komen er twee typen fouten voor:
(V(8x+3) + V(8x+7))^2 = (2V(2x+6) + 2V(2x+4))^2 deze regel is goed, maar dan:
(8x+3)+(8x+7)=V(2x+6)+V(2x+4)
aan de linkerkant ontbreekt de term dubbele product ; dus 2*V(...)*V(...)
en rechts had ook gekwadrateerd moeten worden : en let op
(2V(A)^2 = 2^2 * (V(A))^2 = 4*A . Gebruik dit aan de rechterkant
(opmerking: ook Jorien en Raymon vergeten het dubbele product
pascalannegert moeten uitleg 6 nog eens zelf maken, en dan de fouten in hun reactie dd 26 november verbeteren: lees ook goed wat hierboven staat over het kwadrateren)
dus : opnieuw proberen ; wanner wordt :-( :-) ???
en dan hieronder de beloofde uitleg van het onmogelijk/ moeilijke vraagstuk
speel dit rekenwerk na: solve is een controle in het programma mathcad en controleert de mogelijke oplossing
het rekenwerk is niet mis
uitleg6
Verzoek... geef je commentaar op de laatst verschenen notitie, dus boven in het weblog document
Sem waagt zich al aan het grote werk en merkt meteen dat er vast wat fout gaat.
De opgave is: V(8x+3)+V(8x+7)=2V(2x+6)+2V(2x+4)
Er staan vier wortels: kwadrateren zal vanwege het dubbele product nog niet een vergelijking geven zonder wortels
Als oefening eerst proberen te maken de laatste vergelijking uit het blokje en bestudeer (naspelen op papier) de aanwijzingen in uitleg 4 en 5. Een protte (erg veel - fries) rekenwerk. Maar dat moet nou juist getraind worden.
Niet de moed verliezen. Bij elke topsport hoort oefenen!!!
Probeer in ieder geval de oplossing met de GR te vinden; geef in een commentaar hoe je dat doet.
misschien helpt de uitwerking van het volgende voorbeeld probleem je op weg:
V(x) + V(x+5) = 5
beide kanten kwadrateren: eerst opschrijven, dan pas herleiden:
(V(x) + V(x+5))^2 = 5^2
x + 2*V(x)*V(x+5) + x+5 = 25
wortels links en rest rechts van het = -teken
2*V(x)*V(x+5) = 20 - 2x beide kanten delen door 2
V(x)*V(x+5) = 10 - x
beide kanten kwadrateren; gelukkig staat er links keer en (V(a)*V(b))^2 = a*b
(V(x)*V(x+5))^2 = (10 - x)^2
x*(x+5) = 100 - 20x +x^2 Haakjes weg
x^2 + 5x = 100 - 20x + x^2 maak linkerkant 0
0 = 100 - 25x en dit is een lineaire vergelijking:
25x = 100 ; dus x = 4 en controleer je oplossing in de beginvergelijking
Speel deze oplossing na op een kladje en mocht je vragen hebben? reageer!!
Als je dit beheerst is het tijd voor het grote werk.
In de volgende uitleg krijg je antwoord op de "onmogelijke opgave"
Zettumop!!!
uitleg5
Uit de reactie van Pascalaannegert :
het begin van de oplossing is correct
5+V(x)=V(x+5)+x
dit kwadrateren
(5)^2+(V(x))^2=(V(x+5))+(x)^2
maar dan vergeet je de tussen term, zie uitleg 4 opnieuw:
De linkerkant moet worden: 25 + 2*5*V(x) + x
Doe ook zoiets met de rechterkant: de termen zijn x+5 2*....*... en x^2
Dus jullie hebben in het eerste stuk de wortel niet goed gekwadrateerd en het middenstuk vergeten!!
Ga dan de beide wortels links van het =-teken schrijven ( 2 stuks) en de rest rechts
Kwadrateer dan opniew beide kanten : maak de formules en ben dan van het wortelteken af?
Uit de oplossing van Sharon en jorien: 0 = x^2-16x+48
jullie laten hier de abc-formule op los, maar dit kan je ook ontbinden 0= (x- ...)(x- ...)
Dit geeft minder kans op rekenfouten, tenzij je een programma op je GR hebt voor de abc-formule
uitleg4
Interessant om te zien dat ook havo5 hier problemen heeft. Han maakt echt beginnersfouten; Bestudeer maar eens de oplossing die Raymon geeft. Je moet dus om beide kanten haken zetten en dan pas kwadrateren en let op
(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
Het zogenaamde dubbele product ( vet ) wordt vaak vergeten, toch is dit rekenwerk voor de tweede klas.
Niet opgeven en opnieuw prberen!!
uitleg3
Een aantal oplossingen zijn bijna compleet. Sharon heeft van één van de vergelijkingen de oplossing bijna goed. Haar vraag is nog hoe en wat controleren? In het algemeen is het zo , dat je de oplossing van een vergelijking eigenlijk altijd kunt controleren door de oplossing in te vullen in de eerst gegeven vergelijking. Beide kanten van het = teken moeten dan hetzelfde getal opleveren.
de vergelijking die Sharon oplost is V (2x+1)= x-7 (kwadrateren).
En zij vindt de oplossingen 4 en 12.
Controle van 4 in de vergelijking geeft V(2*4+1) = 4-7. De linkerkant geeft V(9)=3 en de rechterkant -3. Niet gelijk, dus dit is geen oplossing. Dan 12 controleren: V(2*12+1) = 12 - 7. Wat denk je hiervan?
Toch staat er in de abc-formule een invulfout, die ook gemaakt wordt door Jos en Rick. Als je in een formule voor een variabele (hier b) een negatief getal invult, moet je dit tussen haakjes zetten, dus niet schrijven en intikken
(16+of-V(-16^2-4*1*48))/(2*1) ( zie Jos en Rick en ook Sharon), maar
(16+of-V((-16)^2-4*1*48))/(2*1). Let dus op de extra haken om -16; Toets beide uitdrukkingen in op jouw Grafische Rekenmachine. De antwoorden zijn verschillend. Dat Sharon de goede oplossingen vindt, komt doordat je eigenlijk wel weet dat (-16)^2 positief hoort te zijn. (-16)^2=256. Volgens afspraak in de wiskunde is -16^2= - 16*16= -256. Maak deze fout dus niet weer.
Jos en Rick pakken het volgende probleem aan
5+V(x)=V(x+5)+x Kwadrateren geeft
5^2+x=x+5+x^2 Maar dit is al te simpel.
de linkerkant kwadrateren geeft (5+ V(x))^2 en dan toepassen (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
en dit is dan 5^2 + 2*5*V(x) + (V(x))^2 = 25 + 10*V(x) + x
Er blijft links een wortel staan. Werk zelf de rechterkant uit, en ook daar blijft een wortel staan. Dus zal je opnieuw willen kwadrateren etc...... Een oplossing zal je op deze manier niet vinden.
Een mogelijkheid die je dan nog hebt is: zet beide wortels aan dezelfde kant van het = -teken
De beginvergelijking wordt dan:
5 - x = V(x+5) - V(x)
kwadrateer beide kanten; zelf doen en zorg er daarna voor dat de nieuw ontstane wortel alleen rechts komt te staan en de rest van de termen linksvan het = -teken. dan opnieuw kwadrateren en je bent van de wortel af.
Van welke graad is de vergelijking dan en heb hier formules voor?
Vind in ieder geval een oplossing met de GR als volgt: Y1= 5 + V(x) en Y2 = V(x+5) + x
en vind met de GR de coördinaten van de snijpunt(en).
Je merkt dat niet altijd met algebra op simpele manier een oplossing is te vinden. Een numerieke oplossing lukt dan nog wel met de GR.
uitleg2
het valt mij op dat in veel pogingen tot een oplossing er een correcte tweedegraadsvergelijking komt, maar dat door de opbouw links en rechts van het = teken vergeten wordt, dat je de vergelijking op nul moet herleiden:
x=x^2+7x-7 herschrijf je tot
0=x^2+6x-7
Deze vergelijking kan je ontbinden
0=(x+7)(x-1) etc. of je gebruikt de formule met a=1 b=6 en c=-7
Een tweede type fout die nog voorkomt is het onvolledig kwadrateren van één van de kanten van het =-teken.
V(x+7)=3x-3 na kwadrtateren eerst schrijven als
(V(x+7))^2=(3x-3)^2
en dan moet je aan de rechter kant na uitwerken drie drie termen krijgen!!
probeer deze opte lossen en ga dan met de oorspronkelijk gegeven vergelijking nog eens aan de gang
oplossing1
Om je opweg te helpen krijg je nu de oplossing van het eerste probleem
Ik heb dit in mathcad/studyworks opgemaakt. Dit voor een betere leesbaarheid.
Het geheel staat als een figuur hier opgenomen
Reken dit zelf na op papier.
Ga nu de tweede vergelijking te lijf: dezelfde manier van werken toepassen
worteluitleg1
De reacties zijn hoopgevend. Rick heeft de oplossing van het eerste probleem bijna volledig goed. Een belangrijke regel bij het oplossen van dit soort wortelvergelijkingen is, dat je niet moet vergeten de gevonden oplossingen te controleren. Door te kwadrateren voer je wel eens niet bestaande oplossingen in. Vul in de beginvergelijking je oplossing voor x in en controleer of links en rechts van het =-teken de uitkomsten gelijk zijn. Een andere manier is om je GR te gebruiken: de linkerkant noem je Y1 en de rechterkant Y2 en bekijk de x-coordinaten van het snijpunt.
na kwadrateren altijd controleren
Het is heel leerzaam (ook voor mij) om te zien wat voor fouten je maakt: Zo denkt Sem nog teveel aan het schema dat hoort bij eerstegraadsvergelijkingen: alle termen met x aan de linkerkant van het =-teken. Dat werkt bij ingewikkelde vergelijkingen van andere graad echt niet. Een aanwijzing die je krijgt is: wortel alleen links en de rest rechst van het = teken. Dan het gehele linkerlid kwadrateren en eveneens het gehele rechterlid ( zet dit dus altijd eerst tussen haakjes als er + of - instaat.
De anderen voeren dit goed uit ( in de eerste reactie van Jorien is bij de x de macht 2 vergeten, maar de tweede reactie is correct.
Maar dan: Je krijgt een vergelijking met x^2 en x en constanten: een tweede graadsvergelijking. Het standaard recept is herleid de vergelijking op 0 en ontbind, dan wel pas de abc-formule toe.
Karin , Jorien en pascalannegert moeten dit niog uitproberen, maar je kunt bij Rick kijken of je het goed doet.
Als je x van beide kanten aftrekt in een vergelijking, mag je dat nooit doen zomaar in het functiehuis van de wortel. Dat gebeurt op één plek in een oplossing; zoek uit welke.
En nu de volgende vergelijking aanpakken. Het lukt je wel